惯性矩转轴公式的研究

转轴公式是材料力学的一个重要内容。在现行材料力学教材中转轴公式可以计算当坐标轴发生 旋转时截面的惯性矩（积）、主惯性矩，并结合移轴公式，算得截面的最大和最小惯性矩。但是，传统教材并没有进一步利用转轴公式来确定最大和最小惯性矩对应的轴的方位，因为直接运用方程来解决这个问题 比较冗繁复杂，而在杆件稳定性分析中，这是关键性的问题［1］ 。因此，本文定义了广义惯性积，之后顺利地 引出惯性矩圆，研究发现，利用惯性矩圆不仅可以确定当坐标轴发生旋转时截面的惯性矩（积）的变化规律，而且能直观地找出截面的最大和最小惯性矩对应的轴的位置。该方法直观，概念明确，不失为材料力学的相关知识点的补充。 

转轴公式 当坐标系转动时，惯性矩和惯性积会发生变化。如图2所示，坐标系x1o1y1相对于坐标系xoy逆时针 转动了角度α，已知截面对于坐标系xoy的惯性矩和广义惯性积： Ix= A 乙 y2dA，Iy= A 乙 x2dA，Ixy= A 乙 xydA，Iyx= A 乙 -xsinα+ycos乙乙α2 dA （7） 求对于坐标系x1o1y1的惯性矩和广义惯性积： Ix1 = A乙y12dA（8-a）Iy1 =A乙x1 2dA（8-b）Ix1y1 =A乙x1y1 dA （8-c）Iy1x1 =-Ix1y 1 （8-d）将如下坐标关系式： x1=xcosα+ysinα，（9） y1=-xsinα+ycosα， 代入（8） 式得Ix1 = A 乙-xsinα+ycos乙 乙α2 dA＝Iy sin2 α-Ixysin2α+Ix cos2 α（10-a）Iy1 =A 乙xcosα+ysin乙乙α2 dA＝Ix sin2 α+Ixysin2α+Iy cos2 α （10-b） Ix1y1 =A 乙xcosα+ysin乙乙α-xsinα+ycos乙乙αdA＝Ixy cos2α+Ix -I y 2sin2α（10-c）Iy1x1 =-Ix1y 1 （10-d） 上式就是含有广义惯性积的转轴公式。

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